Hasil Kali Skalar Dua Vektor (DOT Product)

Hasil Kali Skalar Dua Vektor atau sering disebut sebagai Dot Product. Operasi ini unik karena mengalikan dua buah vektor namun menghasilkan sebuah bilangan real (skalar), bukan vektor lagi.

1. Definisi Geometris (Berdasarkan Sudut)

Jika diketahui panjang masing-masing vektor dan sudut yang dibentuk oleh keduanya, kita menggunakan rumus kosinus.

Rumus:

Keterangan:

·         |u| dan |v| adalah panjang (magnitudo) masing-masing vektor.

·         θ adalah sudut antara kedua vektor (0^o ≤ θ ≤180^o).

---

2. Definisi Aljabar (Berdasarkan Komponen)

Jika vektor diberikan dalam bentuk koordinat atau vektor satuan (i,j) kita cukup mengalikan komponen-komponen yang seletak lalu menjumlahkannya.

Rumus:

 

---

3. Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam pengerjaan dot product, kita sering kali dihadapkan pada dua situasi berbeda: terkadang kita tahu seberapa besar sudut yang terbentuk, namun di lain waktu kita hanya memiliki koordinat posisinya. Mari kita pelajari cara menangani keduanya.

Contoh 1: Menggunakan Sudut

Bayangkan dua buah gaya yang bekerja pada satu titik. Jika kita tahu kekuatan masing-masing gaya dan sudut "bukaan" di antara keduanya, kita bisa menggunakan rumus kosinus

Persoalan:

Diketahui |u| = 8 dan |v| = 5, serta sudut antara u dan v adalah 60^o. Hitunglah hasil kali skalar u.v!

Pembahasan:

u.v = |u|.|v|.cos 60o

u.v = 8 . 5 . ½

u.v = 40.1/2 = 20

Contoh 2: Menggunakan Komponen

Lalu, bagaimana jika kita tidak tahu sudutnya, tetapi tahu persis ke mana arah vektor tersebut pada sumbu X dan Y? Di sinilah keajaiban dot product terjadi—kita cukup mengalikan "pasangan" komponennya.

Persoalan:

Jika a = 4i + 3j dan b = 2i + 6j, tentukan hasil a.b!

Pembahasan:

Identifikasi komponen masing-masing:

·         a → x₁ = 4, y₁ = 3

·         b → x₂ = 2, y₂ = 6

a.b = (4.2) + (3.6)

a.b = 8 + 18 = 26

---

4. Sifat Penting Dot Product

·         Tegak Lurus (Ortogonal): Jika dua vektor saling tegak lurus (θ = 90^o), maka hasil kali skalarnya selalu 0, karena cos 90^o = 0.

Searah: Jika dua vektor searah (θ = 0^o), maka u.v = |u| |v| karena cos 0^o = 1.